Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2．
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，求AD的长．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，∴B₁C₁⊥A₁C₁，
又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD①（3分）
由D为中点可知，DC=DC₁=，
∴DC²+DC₁²=CC₁²即CD⊥DC₁②（5分）
由①②可知CD⊥平面B₁C₁D又CD?平面B₁CD，故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D．（6分）
（Ⅱ）由（1）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，如图，在面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，
由三垂线定理可知∠B₁EC₁为二面角B₁-DC-C₁的平面角，（8分）
∴∠B₁EC₁=60°．
由B₁C₁=2知，，（10分）
设AD=x，则．∵△DC₁C₁的面积为1，∴，
解得x=．（12分）
解法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴和建立空间直角坐标系．
则C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），D（1，0，1）
即
由，
得CD⊥C₁B；
由
得CD⊥DC₁；又DC₁∩C₁B=C₁，
∴CD⊥平面B₁C₁D．又CD?平面B₁CD，
∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），，
设平面B₁CD的法向量为．
则由．
得，又平面，
则由，
故AD=．（12分）
分析：法一（Ⅰ）D为AA₁中点，证明B₁C₁⊥CD，CD⊥DC₁，推出CD⊥平面B₁C₁D，即可证明平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，
说明∠B₁EC₁为二面角B₁-DC-C₁的平面角为60°，通过面积求AD的长．
法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴和建立空间直角坐标系．通过计算，证明CD⊥平面B₁C₁D，可得平面B₁CD⊥平面B₁C₁D
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），求出平面B₁CD的法向量，平面，
利用求出a的值，即可．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．