Question

【题目】已知函数，，.

（1）试判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若，求在上的最大值；

（3）若，求函数在上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）当，为偶函数，当，为非奇非偶函数；详见解析

（2）最大值；

（3）.

【解析】

（1）时，利用定义可以判断为偶函数，时，通过反例可判断为非奇非偶函数.

（2）利用基本不等式和二次函数的性质可求函数的最大值.

（3）由题设可得，分类讨论求出在上的最小值后再取两个最小值中的较小者即为的最小值.

（1）当时，，其定义域为.

因为，故为偶函数.

当时，，而，

因为，故，又，

故为非奇非偶函数.

综上，时为偶函数，时，为非奇非偶函数.

（2）当时，，

当时，.

又，

由基本不等式有，

当且仅当时等号成立，故的最大值为.

（3）.

所以，其中.

当时，，

当时，，，

当时，因为 故；

当时，因为 故.

当时，，，

当时，，，

因为，故.

当时，

当时，，

此时，故，，

当时，由，故.

当时，由，故.

当时，，故，，故.

综上， .