Question

已知直三棱柱的三视图如图所示，且是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）当点为线段中点时，与成角.

试题分析：（Ⅰ）为了证明∥平面,需要在平面内找一条与平行的直线，而要找这条直线一般通过作过且与平面相交的平面来找.在本题中联系到为中点，故连结，这样便得一平面，接下来只需证与交线平行即可.对（Ⅱ）（Ⅲ）两个小题，由于是直三棱柱，且，故两两垂直，所以可以以为坐标轴建立空间直角坐标系来解决.
试题解析：（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ∥， 因为 平面，平面， 所以 ∥平面.                            4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.

，则.
所以 ，
设平面的法向量为，则有
所以  
取，得.       6分
易知平面的法向量为.                  7分
由二面角是锐角，得 .   8分
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，.          9分
因为与成角，所以.         10分
即，解得，舍去.      11分
所以当点为线段中点时，与成角.        12分