Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且==.

(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；

(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）根据题意，先求解直线ER与GR′的方程，进而联立方程组得到其交点P，然后证明点与椭圆的位置关系。

（2）当时，

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又  则直线的方程为        ①      2分

又 则直线的方程为           ②

由①②得

∵

∴直线与的交点在椭圆上              4分

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设

不妨取 ∴ ,不合题意    5分

②当直线的斜率存在时，设 

联立方程 得

则

      7分

又

即

将代入上式得

解得或（舍）

∴直线过定点                      10分

∴，点到直线的距离为

∴

由及知：，令 即

∴ 当且仅当时， 13分

考点：直线于椭圆的位置关系

点评：解决的关键是根据直线与椭圆的方程联立方程组，结合韦达定理来得到求解，属于中档题。主要是对于运算能力的考查。