Question

已知数列{a_n}各项为正数，前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令，数列{c_n}前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知前n项和，当n≥2时，利用，了点数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由得，再用叠加法求数列{b_n}的通项公式；
（3），当n≥2时，．从而可求数列{c_n}前n项和为T_n，即可证得结论．
解答：解：（1）当n=1时，，
∴，又a₁＞0，故a₁=1．（1分）
当n≥2时，，（2分）
化简得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由于a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，故数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n．（4分）
（2）由得，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+…+3^n-1=．（8分）
（3），（9分）
当n=1时，；
当n≥2时，．（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n==．（12分）
点评：本题重点考查等差数列的通项，考查叠加法求和，考查放缩法的运用，解题的关键是叠加法求和．