Question

设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意正实数x、y,有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,且当x＞1时,f(x)＞0.

(1)求证:f()=-1;

(2)判断f(x)的单调性;

(3)数列{a_n}中,a_n＞0,且f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)-1(n∈N^*),其中S_n是{a_n}的前n项的和,求a_n;

(4)在(3)的条件下,是否存在正常数M,使得2ⁿ·a₁·a₂·…·a_n≥M(2a₁-1)(2a₂-1)…(2a_n-1)对一切n∈N^*都成立?若存在,求出M的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证明：f(1×1)=f(1)+f(1) 2f(1)=f(1),∴f(1)=0.

    又f(1)=f(×2)=f()+f(2),得f()=f(1)-f(2)=-f(2)=-1.

(2)解：当x＞0时,0=f(1)=f()=f(x)+f(),∴f()=-f(x).

∴f()=f(x)-f(y)(x＞0,y＞0).

    设0＜x₁＜x₂,则＞1,

∴f(x₂)-f(x₁)=f()＞0,

    即f(x₂)＞f(x₁).∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

(3)解：f(S_n)=f(),

∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,

∴S_n=,即2S_n=a_n²+a_n.                 (*)

    由(*)知,2S₁=2a₁=a₁²+a₁a₁=1.

    当n≥2时,2S_n-1=a_n-1²+a_n-1,                  (**)

(*)-(**)得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1,

    即a_n+a_n-1=(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1).

    由条件知a_n+a_n-1＞0,

∴a_n-a_n-1=1(n≥2).

∴{a_n}是公差为1,首项为1的等差数列.∴a_n=n.

(4)解：若存在M,使对一切n∈N^*,2ⁿ·a₁·a₂·…·a_n≥M(2a₁-1)(2a₂-1)…(2a_n-1)成立,即2ⁿ·1·2·3·…·n≥M·1·3·5·…·(2n-1)成立,

∴M≤对一切n∈N^*都成立.

    令b_n=,

    则b_n＞0,且=＞1,

∴b_n＜b_n+1,这表明数列{b_n} 为单调递增函数.

∴只要M≤b₁==即可.

∴当正常数M∈(0,］时,题设中的不等式对一切n∈N^*都成立.