Question

已知在直角坐标系中，，其中数列{a_n}，{b_n}都是递增数列．
（1）若a_n=2n+1，b_n=3n+1，判断直线A₁B₁与A₂B₂是否平行；
（2）若数列{a_n}，{b_n}都是正项等差数列，设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n（n∈N*），求证：{S_n}也是等差数列；
（3）若≥﹣12，记直线A_nB_n的斜率为k_n，数列{k_n}的前8项依次递减，求满足条件的数列{b_n}的个数．

Answer 1

（1）解：由题意A₁（3，0），B₁（0，4），A₂（5，0），B₂（0，7），
所以，
，
因为，所以A₁B₁与A₂B₂不平行．
（2）证明：因为{a_n}，{b_n}为等差数列，设它们的公差分别为d₁和d₂，
则a_n=a₁+（n﹣1）d₁，b_n=b₁+（n﹣1）d₂，a_n+1=a₁+nd₁，b_n+1=b₁+nd₂
由题意
所以[b1+（n﹣1）d2]}=，
所以，
所以S_n+1﹣S_n=d₁d2是与n无关的常数，
所以数列{S_n}是等差数列
（3）解：因为A_n（a_n，0），B_n（0，b_n），
所以=
又数列{k_n}前8项依次递减，
所以=＜0，
对1≤n≤7（n∈Z）成立，
即a_n﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．
又数列{b_n}是递增数列，所以a＞0，故只要n=7时，7a﹣a+b=6a+b＜0即可．
又b₁=a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域（如下图所示），易得a=1或2，
当a=1时，﹣13≤b＜﹣6即b=﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解；
当a=2时，﹣14≤b＜﹣12，即b=﹣14，﹣13，有2个解，
所以数列{bn}共有9个．