Question

【题目】用表示一个小于或等于的最大整数.如：，，. 已知实数列、、对于所有非负整数满足，其中是任意一个非零实数.

（Ⅰ）若，写出、、；

（Ⅱ）若，求数列的最小值；

（Ⅲ）证明：存在非负整数，使得当时，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）最小值为；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由，代入可得，同理可得：、；

（Ⅱ）由，可得，，设，，可得，因此，. 又因，可得，. 假设，都有成立，可得：，，利用累加求和方法可得，，则当时，，得出矛盾，，从而可得出的最小值；

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，存在，，可得，，由此得出，，成立.；若，，推导出数列单调不减.由是负整数，可知存在整数和负整数，使得当时，.所以，当时，，转化为，令，即，.经过讨论：当时，得证.当时，，，，，当时，，则，则有界，进而证明结论.

（Ⅰ），，

同理可得：，；

（Ⅱ）因，则，所以，

设，，则，所以，.

又因，则，则，.

假设，都有成立，则，

则，，即，，

则，，则当时，，

这与假设矛盾，所以，不成立，

即存在，，从而的最小值为；

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，存在，，

所以，所以，所以，，成立.

当时，若存在，，则，，得证；

若，，则，则，

则，，所以数列单调不减.

由于是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当时，.

所以，当时，，则，令，

即，.

当时，则，，则，，得证.

当时，，，，，

因当时，，则，则有界，

所以，所以负整数.

，则

令，满足当时，.

综上，存在非负整数，使得当时，.