Question

（I）试证明柯西不等式：
（II）已知，且，求的最小值．

Answer 1

（1）对于不等式的证明可以运用综合法也可以运用分析法来得到。也可以运用作差法加以证明。
（2）根据题意，由于，那么结合均值不等式来求解最值。

试题分析：（Ⅰ）证明：左边=,
右边=,
左边右边 ,        2分
左边右边, 命题得证.        3分
（Ⅱ）令，则,
,     ,
,           4分
由柯西不等式得：,           5分
当且仅当，即，或时     6分
的最小值是1 .           7分
解法2：, ,
,   4分
，     5分
当且仅当，或时   6分
的最小值是1.     7分
点评：主要是考查了不等式的证明，以及均值不等式求解最值的运用，属于中档题。