Question

如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC．

(1)求三棱锥P—ABC的体积V；

(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；

(3)求二面角A—PC—B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4． ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC． 在Rt△PAC中，可求出PC=5，则PB=BC=5． 取BC中点D，连AD．在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=． ∴V=··5··3=． (2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC， ∴BC⊥平面PAD．又BC平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC． 作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段． 在Rt △PAD中，由PA·AD=AE·PD，即3·=AE·，求出AE=． (3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线逆定理，得EF⊥PC． ∠AFE为二面角A—PC—B的平面角． 在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，即3·4=5·AF，求出AF=， ∴sinAFE==·=． 即二面角A—PC—B为arcsin．