题目内容

已知
1
x
+
2
y
=1且x•y＞0，求u=2x+y的最小值．
分析：将 
1
x
+
2
y
=1代入u=2x+y=（2x+y）×1中，展开后应用基本不等式即可求u=2x+y的最小值．
解答：解：u=（3x+y）•1=(2x+y)•(
1
x
+
2
y
)=2+
4x
y
+
y
x
+2=4+(
4x
y
+
y
x
)
∵x•y＞0，∴
4x
y
＞0，
y
x
＞0，
∴
4x
y
+
y
x
≥2
4

即∴
4x
y
+
y
x
≥4
当且仅当
4x
y
=
y
x
即y=2x时取得等号．
∴当
y=2x
1
x
+
2
y
=1
得
x=2
y=4
，此时umin=8．
点评：本题考查基本不等式，着重考查基本不等式的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知正数x、y满足x+2y=1，求
1
x
+
1
y
的最小值．
解：∵x+2y=1且x、y＞0，
∴
1
x
+
1
y
=(
1
x
+
1
y
)(x+2y)≥2
1
xy
•2
2xy
=4
2
，
∴(
1
x
+
1
y
)min=4
2
，
判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．
已知x，y∈R+，且
1
x
+
2
y
=1，则x+8y的最小值是
25
25
．
已知问题“设正数x，y满足
1
x
+
2
y
=1，求x+y的最值”有如下解法；
设
1
x
=cos2α，
2
y
=sin2α，α∈(0，
π
2
)，
则x=sec2α=1+tan2α，y=2csc2α=2（1+cot2α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+
2
tan2α
≥3+2
2
，等号成立当且仅当tan2α=
2
tan2α
，即tan2α=
2
，此时x=1+
2
，y=2+
2
．
（1）参考上述解法，求函数y=
1-x
+2
x
的最大值．
（2）求函数y=2
x+1
-
x
(x≥0)的最小值．
已知
1
x
+
2
y
=1且x•y＞0，求u=2x+y的最小值．

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