Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．若a，b∈N，则A∩B≠∅的概率为

 

；若a，b∈R，则A∩B=∅的概率为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，分析a、b可得（a，b）的情况，令函数f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，求导分析单调性可得其最小值，要使A∩B≠∅，只须-a+

b

2

-1＜0，分析可得（a，b）能取的情况数，进而由几何概型的意义可得答案；
（2）因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，确定其表示的平面区域，由（Ⅰ）可知A∩B=∅的（a，b）对应的关系式，借助线性规划分析，可得其区域，进而由几何概型的意义计算可得答案．

解答：解：（1）因为a，b∈N，且0≤a≤2，1≤b≤3，
（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，1），（2，2），（2，3）共9组．
令函数f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，则f′（x）=a+bln2•2^x．
因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f'（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是单调增函数．
f（x）在[-1，0]上的最小值为-a+

b

2

-1．
要使A∩B≠∅，只须-a+

b

2

-1＜0，即2a-b+2＞0．
所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7组．
所以A∩B≠∅的概率为

7

9

．

（2）因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）对应的区域边长为2的，
正方形（如图），面积为4．
由（Ⅰ）可知，要使A∩B=∅，只须f(x)min=-a+

b

2

-1≥0?2a-b+2≤0，
所以满足A∩B=∅的（a，b）对应的区域是如图阴影部分．
所以S_阴影=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

．
所以A∩B=∅的概率为P=

1 4

4

=

1

16

．

点评：本题重点考查几何概型的意义与几何概型的计算，解题时注意（1）（2）中a、b的范围不同，因而采取不同的分析、计算方法．