Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+3的单调递减区间为(-

1

3

，1)，单调增区间为(-∞，-

1

3

)和（1，+∞）．
（1）求f（x）的解析式
（2）若t∈R，试讨论关于x得方程f（x）=lnx+（2e-1）x²-（t+1）x+3的实数根的个数（e为自然数的底）

Answer 1

分析：（1）由题设得f'（x）=0的根为x=-

1

3

或x=1，由此求得a=b=-1，进而得到f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=lnx+（2e-1）x²-（t+1）x+3可化为x2-2ex+t=

lnx

x

，令g(x)=x2-2ex+t，h(x)=

lnx

x

，分别利用导数求出函数g（x）的最小值与函数h（x）的最大值，对参数t分类讨论，即可得到原方程的根的个数．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b（1分）
由题意设得f'（x）=0的根为x=-

1

3

或x=1（2分）
由此求得a=b=-1（3分）
故f（x）=x³=x²-x+3（4分）
（2）原方程可化为x2-2ex+t=

lnx

x

（5分）
令g(x)=x2-2ex+t，h(x)=

lnx

x

（6分）
则g(x)min=g(e)=t-e2（7分）
∵h′(x)=

1-lnx

x2

，h′(e)=0，
当0＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0
∴h(x)max=h(e)=

1

e

（9分）
故，当t-e2＞

1

e

，即t＞e2+

1

e

时，原方程无实数根
当t-e2=

1

e

，即t=e2+

1

e

时，原方程有一个实数根；
当t-e2＜

1

e

，即t＜e2+

1

e

时，原方程有两个实数根．（10分）

点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及方程根的存在性的判定，体现了分类讨论思想，属于中档题．