Question

已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N*，定义b_n=a_n+1-a_n，
(1)若b_n=n+1，求a₄；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0），
①当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
②当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次。

Answer 1

解：(1)6，；
(2)①因为，
所以，对任意的n∈N*有，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．
数列{b_n}的前6项分别为，且这六个数的和为7．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，
则当n=2k(k∈N*)时，；
当n=2k+1(k∈N*)时，

，
所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，；
②由①知：对任意的n∈N*有，
又数列{b_n}的前6项分别为，且这六个数的和为；
设(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，
所以

，
所以，数列均为以为公差的等差数列，
因为b＞0时，；b＜0 时，，
所以是公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，
所以数列{a_n}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次．