Question

【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C， AB=3，BC=5.

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）求点C到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面ABC⊥平面AA1C1C. (2)利用空间向量法求二面角A1-BC1-B1的余弦值. (3)利用空间向量法求点C到平面的距离.

试题解析：

证明：（1）因为为正方形，所以.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C ，所以⊥平面ABC.

（2）由（1）知， ⊥AC, ⊥AB.

由题意知，所以.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则.

设平面的法向量为，则即

令，则，所以.

同理可得，平面的法向量为.

所以.

由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.

（3）由（2）知平面的法向量为，

所以点C到平面距离.