Question

16．己知函数f（x）=-x²+|x-a|，a∈R．
（1）讨论f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）当a=-1时，求f（x）的值域；
（3）当a≤0时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；
（2）将a=-1代入，分类讨论f（x）的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；
（3）结合二次函数的图象和性质，分类讨论f（x）的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；

解答 解：（1）当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数，理由如下：
当a=0时，函数f（-x）=-（-x）²+|-x|+1=-x²+|x|=f（x），此时，f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=-a²，f（-a）=-a²+2|a|，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）当a=-1时，函数f（x）=-x²+|x+1|，
当x≤-1时，f（x）=-x²-x-1∈（-∞，-1]，
当x＞-1时，f（x）=-x²+x+1∈（-∞，$\frac{5}{4}$]，
综上，当a=-1时，求f（x）的值域为（-∞，$\frac{5}{4}$]，
（3）当a≤0时，
当x≤a时，f（x）=-x²-x+a的图象开口朝下，以x=$-\frac{1}{2}$为对称轴，
此时函数f（x）≤$\frac{1}{4}$+a，
当x＞a时，f（x）=-x²-x+a的图象开口朝下，以x=$\frac{1}{2}$为对称轴，
f（x）=-x²+x-a∈（-∞，$\frac{1}{4}$-a]，
∵$\frac{1}{4}$-a＞$\frac{1}{4}$+a，
故当a≤0时，f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$-a．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．