题目内容

已知函数f(x)为定义域R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋x－1，求f(x)．

答案：
解析：

　　解：当x＜0时，－x＞0，∵当x＞0时，f(x)＝x2＋x－1，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1．

　　又∵函数f(x)为定义域R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－x－1)＝－x2＋x＋1．

　　又f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，综上所述，f(x)＝


提示：

如果一个函数是奇函数，那么知道f(a)的值，就可以知道f(－a)的值，这时f(－a)＝－f(a)，所以当我们知道了x＞0时f(x)的解析式，就可以求出x＜0时的解析式，再加上x＝0时的解析式，就可以得到在整个定义域上的解析式了．


练习册系列答案
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已知函数f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2判断下列三个代数式：①x1+x2+a，②
x
2
1
+
x
2
2
+a2，③
x
3
1
+
x
3
2
+a3
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．
已知函数f(x)=x+log2
x
3-x
(x∈(0，3))
（1）求证：f（x）+f（3-x）为定值．
（2）记S(n)=
1
2n
2n-1
i=1
f(1+
i
2n
)(n∈N*)，求S（n）．
（3）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=2以及x轴所围成的封闭图形的面积为S，试探究S（n）与S的大小关系．
已知函数f(x)=
a•2x
2x+
2
的图象过点(0，
2
-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（xP，yP）满足：
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，其中O为坐标原点．试问：当xP=
1
2
时，yP是否为定值？若是，求出yP的值，若不是，请说明理由．
已知函数f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)
（1）当f（x）的定义域为[a+
1
2
，a+1]时，求f（x）的值域；
（2）试问对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
1
2
≤a≤
3
2
，求g（x）的最小值．
已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
（3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．

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