Question

过点F（1，0）的直线l交抛物线C：y²=4x于A，B两点．
（1）若|AB|=8，求直线l的方程；
（2）记抛物线C的准线为l，设OA，OB分别交l于M，N两点，△AOB与△MON的重心分别为G，H，求|GH|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为x=ky+1，代入抛物线方程，根据方程的根与系数关系y₁+y₂，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2
（1）|AB|==8，代入可求k，进而可求直线方程
（2）由重心坐标公式可得，可求G
由直线OA的方程y=，与准线相交得M（-1，-）；直线OB的方程y=x，与准线相交得N（-1，-），从而可求H，而|GH|=x_G-x_H，利用二次函数的性质可求
解答：解：设直线l的方程为x=ky+1，代入C：y²=4x可得y²-4ky-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=4k²+2
（1）|AB|==4k²+2+2=8
∴k=±1
故直线l的方程为x±y-1=0
（2）由重心坐标公式可得，
∴G（）
直线OA的方程y=，与准线相交得M（-1，-）
直线OB的方程y=x，与准线相交得N（-1，-）
∴，==，故H（）
|GH|=x_G-x_H=即|GH|的最小值
点评：本题主要考察了利用抛物线的定义求解抛物线的焦点弦，主要利用了焦半径公式，三角形的重心坐标公式的应用是解答本题的关键