Question

（本小题满分14分）

如图1所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

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Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）证明：在正方形中，因为，

所以三棱柱的底面三角形的边．

因为，，

所以，所以．…………………………………2分

因为四边形为正方形，，

所以，而，

所以平面． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）解：因为平面，

所以为四棱锥的高．

因为四边形为直角梯形，且，，

所以梯形的面积为．

所以四棱锥的体积． ……………………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，， 

所以，，

设平面的一个法向量为．

则    即

令，则．

所以．………………………………………………………………12分

显然平面的一个法向量为．

设平面与平面所成锐二面角为．

则．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……………………14分