Question

已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：(综合法)∵a＞0，b＞0，则＋≥2＝2， 　　同理：＋≥2，以上两式相加得＋＋＋≥2＋2， 　　∴＋≥＋． 　　证法二：(比较法：作差比较法) 　　(＋)－(＋)＝＝＝． 　　由a＞0，b＞0，有＋＞0，·＞0，(－)2≥0， 　　故(＋)－(＋)≥0．∴＋≥＋． 　　证法三：(分析法)∵a＞0，b＞0，故·＞0． 　　欲证＋≥＋， 　　只要证a＋b≥a＋b， 　　只要证(a＋b)2≥(a＋b)2， 　　即证a3＋b3＋2ab≥a2b＋b2a＋2ab， 　　只要证a3＋b3≥a2b＋b2a， 　　只要证a2(a－b)＋b2(b－a)≥0， 　　只要证(a－b)2(a＋b)≥0． 　　∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥0，(a－b)2≥0， 　　∴(a－b)2(a＋b)≥0成立，∴＋≥＋． 　　分析：由题中已知条件a，b∈R+与求证式的结构特点，可采用不等式证明的三种基本方法．

提示：

评注：对不等式观察分析的角度不同，选用的证法就不同，变形的方向就存在差异，呈现多姿多彩的美境，但又都殊途同归．