Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交DAPD于点M，交PC于点N。

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离。

Answer 1

解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。 又因为PA⊥平面ABCD， 则PA⊥CD， 又CD⊥AD， 所以CD⊥平面PAD， 则CD⊥AM， 所以AM⊥平面PCD 所以平面ABM⊥平面PCD。 （2）由（1）知，， 又， 则M是PD的中点可得， 则 设D到平面ACM的距离为h， 由，即， 可求得， 设所求角为θ，则， 。 （3）可求得PC=6 因为AN⊥NC， 由，得PN。 所以。 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。 又因为M是PD的中点， 则P、D到平面ACM的距离相等， 由（2）可知所求距离为。