Question

在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC=4：5：6，下列结论：
①a：b：c=4：5：6
②a：b：c=2：

5

：

6

③a=2cm，b=2.5cm，c=3cm
④A：B：C=4：5：6
其中成立的个数是

2

．

Answer 1

分析：根据正弦定理和余弦定理分别进行判断即可．

解答：解：∵sinA：sinB：sinC=4：5：6，
∴根据正弦定理可知边a：b：c=4：5：6，
设a=4x，x＞0，则y=5x，z=6x．
又三角形的周长为7.5，
∴a+b+c=4x+5x+6x=15x=7.5，
解得x=0.5，
∴a=4x=2，y=5x=2.5，z=6x=3．
∴①正确，②错误，③正确．
若A：B：C=4：5：6成立，则A=48°，B=60°，C=72°，
此时cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

16x2+36x2-25x2

2×4x•6x

=

9

16

≠

1

2

，
∴A：B：C=4：5：6不成立．
故成立的是①③．
故答案为：2．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的内容及应用．