Question

9．已知函数f（x）=（ax²+x）e^x（a∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间
（2）设g（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$•lnx+e²，若a＞-$\frac{3}{8}$，是否?x₁∈（0，2），使得?x₂∈（0，2），有f（x₁）=g（x₂）成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导数，f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]•e^x，可设g（x）=ax²+（2a+1）x+1，要找f（x）的单调递增区间，只要找使g（x）≥0的区间即可，这样可讨论a：a=0时，g（x）=x+1，从而得出f（x）的单调递增区间为[-1，+∞），而a≠0时，可找使得二次函数g（x）≥0的区间即可；
（2）由题意便知，要存在这样的x₁，需让f（x）在（0，2）上的值域包含g（x）在（0，2）上的值域，从而根据导数符号，分别求出g（x），f（x）在（0，2）上的值域，然后判断是否满足包含关系即可．

解答 解：（1）f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]•e^x，设g（x）=ax²+（2a+1）x+1；
①若a=0，则g（x）=x+1；
∴x≥-1时，f′（x）≥0；
∴f（x）的单调递增区间为：[-1，+∞）；
②若a≠0，解g（x）=0得，$x=\frac{-（2a+1）±\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$；
1）a＞0时，x$≤\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$，或$x≥\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$时，g（x）≥0，∴f′（x）≥0；
∴f（x）的单调递增区间为：$（-∞，\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}]$，[$\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$，+∞）；
2）a＜0时，$\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$$≤x≤\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$时，g（x）≥0，∴f′（x）≥0；
∴f（x）的单调递增区间为：[$\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}，\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$]；
（2）根据题意知，f（x）在（0，2）上的值域包含g（x）在（0，2）上的值域；
g′（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{2x}$；
∴$0＜x＜\frac{1}{\sqrt{2}}$时，g′（x）＞0，$\frac{1}{\sqrt{2}}＜x＜2$时，g′（x）＜0；
∴$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$时，g（x）取最大值$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}ln2+{e}^{2}$，而x趋向0时，g（x）趋向-∞；
∴g（x）在（0，2）上的值域为（-∞，$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}ln2+{e}^{2}$]；
①当$-\frac{3}{8}＜a＜0$时，$\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜0$，$0＜\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜2$；
∴由①知，$0＜x＜\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$时，f′（x）＞0，$\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜x＜2$时，f′（x）＜0；
而x趋向0或2时，f（x）都不趋向于负无穷；
∴不满足f（x）在（0，2）上的值域包含g（x）在（0，2）上的值域；
②当a=0时，由（1）知f（x）在（0，2）上单调递增；
∴f（x）的值域为（0，2e²），不满足条件；
③当a＞0时，$\frac{-（2a+1）±\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜0$；
∴f（x）在（0，2）上单调递增；
∴f（x）的值域为（0，（4a+2）e²），不满足条件；
∴综上得，不存在x₁∈（0，2），使得任意x₂∈（0，2），有f（x₁）=g（x₂）．

点评 考查根据导数符号找函数单调区间的方法，二次函数的符号和对应一元二次方程实数根的关系，解一元二次方程，根据导数求函数最值的方法，以及根据导数求函数值域的方法和过程，注意不要漏了a=0的情况．