题目内容
20．已知cosx=-$\frac{3}{5}$，x∈（${\frac{π}{2}$，π）．（Ⅰ）求$sin（x+\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）求$sin（{2x+\frac{π}{6}}）$的值．
分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx的值，进而利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用倍角公式可求sin2x，cos2x的值，进而利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．
解答 解：（Ⅰ）∵$cosx=-\frac{3}{5}，x∈（{-\frac{π}{2}，π}），\\∴sinx=\frac{4}{5}…（2分）$
$\begin{array}{l}∴sin（{x+\frac{π}{3}}）\\=sinxcos\frac{π}{3}+cosxsin\frac{π}{3}…（4分）\\=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}-\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\=\frac{{4-3\sqrt{3}}}{10}…（6分）\end{array}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cosx=-\frac{3}{5}，sinx=\frac{4}{5}$，
$\begin{array}{l}∴sin2x=2sinxcosx=-\frac{24}{25}…（8分）\\ cos2x=2{cos^2}x-1=-\frac{7}{25}…（10分）\\∴sin（{2x+\frac{π}{6}}）\\=sin2xcos\frac{π}{6}+cos2xsin\frac{π}{6}\\=-\frac{24}{25}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{7}{25}×\frac{1}{2}\\=-\frac{{24\sqrt{3}+7}}{50}…（14分）\end{array}$
点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
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小学生10分钟应用题系列答案
如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP=$\frac{π}{6}$，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
若函数f（x）=cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为$\frac{π}{4}$，且x=$\frac{2π}{3}$时f（x）有最小值．
已知函数f（x）=x3-mx，直线l1∥l2，l1与函数f（x）图象切于点A、交于点B，l2与函数f（x）图象切于点C、交于点D．