Question

已知函数f(x)=

1 3 x3+mx2 x≤0 ex-1 x＞0

（1）讨论函数f（x）的极值情况；
（2）设g（x）=ln（x+1），当x₁＞x₂＞0时，试比较f（x₁-x₂）与g（x₁-x₂）及g（x₁）-g（x₂）三者的大小；并说明理由．

Answer 1

（1）当x＞0时，f（x）=e^x-1在（0，+∞）单调递增，且f（x）＞0；
当x≤0时，f'（x）=x²+2mx．
①若m=0，f′（x）=x²≥0，f（x）=

1

3

x3在（-∞，0）上单调递增，且f(x)=

1

3

x3≤0．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函数，无极植；
②若m＜0，f′（x）=x（x+2m）＞0，则f（x）=

1

3

x3+mx2在（-∞，0）单调递增，同①可知f（x）在R上也是增函数，无极值；（4分）
③若m＞0，f（x）在（-∞，-2m）上单调递增，在（-2m，0）单调递减，
又f（x）在（0，+∞）上递增，故f（x）有极小值f（0）=0，（6分）
（2）当x＞0时，先比较e^x-1与ln（x+1）的大小，
设h（x）=e^x-1-ln（x+1）（x＞0）
h′（x）=ex-

1

x+1

＞0恒成立
∴h（x）在（0，+∞）是增函数，h（x）＞h（0）=0
∴e^x-1-ln（x+1）＞0即e^x-1＞ln（x+1）
也就是f（x）＞g（x），对任意x＞0成立．
故当x₁-x₂＞0时，f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）（10分）
再比较g（x₁-x₂）=ln（x₁-x₂+1）与g（x₁）-g（x₂）=ln（x₁+1）-ln（x₂+1）的大小．
g（x₁-x₂）-[g（x₁）-g（x₂）]
=ln（x₁-x₂+1）-ln（x₁+1）+ln（x₂+1）
=ln

(x1-x2+1)(x2+1)

x1+1

=ln(

x2(x1-x2)

x1+1

+1]＞0
∴g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）
∴f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．（13分）