Question

【题目】已知数列满足，.

（1）若.

①设，求证：数列是等比数列；

②若数列的前项和满足，求实数的最小值；

（2）若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）①见解析②的最小值为6.（2），.

【解析】

（1）①由已知可得，又，再利用等比数列的定义即可；②利用累计法可得是以6为首项，为公比的等比数列，再用公式法求得即可；

（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为，对n分n为奇数和偶数进行讨论，结合，可得，进一步得到数列的通项公式.

（1）①因为，且，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

②由①知，，

所以

，

则，所以是以6为首项，为公比的等比数列，

所以.

当时，有最大值6，所以实数的最小值为6.

（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为

①当为奇数时， ，，

则，即，

所以，故.

②当为偶数时，，，

则，即，

所以，故.

综上可得，.

又，所以.

所以当为奇数时，；

当为偶数时，.

故数列的通项公式为，.