Question

（2010•天津模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(-

2

，1)，长轴长为2

5

，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是-

1

2

，求直线l的斜率；
（3）在x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆长轴长为2

5

，知a=

5

，再由椭圆过点（-

2

，1），求得b²=

5

3

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线方程为y=k（x+1）由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由线段AB中点的横坐标是-

1

2

，能求出直线l的斜率．
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数，由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0，再由韦达定理和向量的数量积公式能推导出在x轴上存在点M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数．

解答：解：（1）∵椭圆长轴长为2

5

，∴2a=2

5

，∴a=

5

又∵椭圆过点（-

2

，1），代入椭圆方程得

(- 2 )2

5

+

1

b2

=1，∴b²=

5

3

∴椭圆方程为

x2

5

+

y2

5 3

=1，
即x²+3y²=5…（3分）
（2）∵直线l过点C（-1，0）且斜率为k，
设直线方程为y=k（x+1）
由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵线段AB中点的横坐标是-

1

2

，
则x₁+x₂=2×（-

1

2

）=-1，
即x₁+x₂=

-6k2

3k2+1

=-1，解得k=±

3

3

．…（7分）
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），
使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数，
由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

-6k2

3k2+1

，x1•x2=

3k2-5

3k2+1

，…（9分）
∵

MA

=(x1-m，y1)，

MB

=(x2-m，y2）
∴

MA

•

MB

+

5

3k2+1

=(x1-m)(x2-m)+y1y2+

5

3k2+1

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)+

5

3k2+1

=(1+k2)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+m2+k2+

5

3k2+1

=(1+k2)

3k2-5

3k2+1

+(k2-m)

-6k2

3k2+1

+m2+k2+

5

3k2+1

=

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

是与k无关的常数，设常数为t，
则

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

=t…（12分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0对任意的k恒成立∴

3m2+6m-1-3t=0 m2-t=0

，解得m=

1

6

即在x轴上存在点M（

1

6

，0），
使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数．…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．