Question

已知函数f（x）=log₂x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列．数列{b_n}满足bn=an+3n(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}不是等比数列；
（2）令cn=

2n-1

an

，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证：S_n＜3．

Answer 1

分析：（1）由题意求出an=2n，从而求得bn=2n+3n，假设数列{b_n}是等比数列，则有 b22=b1b3．经过计算可得
b22≠b1b3，与假设矛盾，所以假设不成立，从而证得要证的结论成立．
（2）由条件求得Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，用错位相减法求出它的值．

解答：解：（1）由题意可得 f（a_n）=n=log₂a_n，∴an=2n，故数列{a_n}是等比数列．
假设数列{b_n}是等比数列，bn=2n+3n，则有 b22=b1b3．
由因为 b22=132，b1b3=5×35，∴b22≠b1b3，与假设矛盾，所以假设不成立．
∴数列{b_n}不是等比数列．（6分）
（2）∵cn=

2n-1

an

，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，…①
∴

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，…②，
①-②得

1 2 Sn= 1 2 + 2 22 + 2 23 + 2 24 +…+ 2 2n - 2n-1 2n+1

 
=

1 2 +( 1 21 + 1 22 + 1 23 +…+ 2 2n-1 )- 2n-1 2n+1

=

1 2 + 1 2 [1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 - 2n-1 2n+1 = 1 2 +1-( 1 2 )n-1- 2n-1 2n+1 = 3 2 - 2n+3 2n+1

，
∴Sn=3-

2n+3

2n

＜3．（12分）

点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法进行数列求和，用反证法证明数学命题，属于中档题．