Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接C₁B，设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC₁的中点，由此能够证明AC₁∥平面CDB₁．
（2）由直棱柱知C₁C垂直平面ABC，过点C作CF⊥AB于F，连接C₁F则C₁F⊥AB，则∠C₁FC为二面角C₁-AB-C的平面角．由此能求出二面角C₁-AB-C的正切值．

解答：证明：（1）连接C₁B，设CB₁与C₁B的交点为E，
连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知
E是BC₁的中点，
∵D是AB的中点，∴DE∥AC₁，…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．…（6分）
（2）由直棱柱知C₁C垂直平面ABC，过点C作CF⊥AB于F，连接C₁F则C₁F⊥AB
∴∠C₁FC为二面角C₁-AB-C的平面角．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，CF=

AC•BC

AB

=

12

5

，
又CC₁=AA₁=4，∴tan∠C1FC=

C1C

CF

=

4

12 5

=

5

3

，
∴二面角C₁-AB-C的正切值为

5

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．