题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 过点 $数学公式$ ，长轴长为 $数学公式$ ，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是 $数学公式$ ，求直线l的斜率；
（3）在x轴上是否存在点M，使 $数学公式$ 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵椭圆长轴长为2 $\text{[math]}$ ，∴2a=2 $\text{[math]}$ ，∴a= $\text{[math]}$
又∵椭圆过点（- $\text{[math]}$ ，1），代入椭圆方程得 $\text{[math]}$ =1，∴b²= $\text{[math]}$
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ =1，
即x²+3y²=5…（3分）
（2）∵直线l过点C（-1，0）且斜率为k，
设直线方程为y=k（x+1）
由 $\text{[math]}$ -5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵线段AB中点的横坐标是- $\text{[math]}$ ，
则x₁+x₂=2×（- $\text{[math]}$ ）=-1，
即x₁+x₂= $\text{[math]}$ ．…（7分）
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），
使 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数，
由 $\text{[math]}$ -5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，…（9分）
∵ $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ 是与k无关的常数，设常数为t，
则 $\text{[math]}$ =t…（12分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0对任意的k恒成立∴ $\text{[math]}$ ，解得m= $\text{[math]}$
即在x轴上存在点M（ $\text{[math]}$ ，0），
使 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数．…（14分）
分析：（1）由椭圆长轴长为2 $\text{[math]}$ ，知a= $\text{[math]}$ ，再由椭圆过点（- $\text{[math]}$ ，1），求得b²= $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线方程为y=k（x+1）由 $\text{[math]}$ -5=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由线段AB中点的横坐标是- $\text{[math]}$ ，能求出直线l的斜率．
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），使 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数，由 $\text{[math]}$ -5=0，再由韦达定理和向量的数量积公式能推导出在x轴上存在点M（ $\text{[math]}$ ，0），使 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．