题目内容
本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分．
|
到定直线
的距离
，
为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为
，且
．
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹
的方程；
（2）过点的直线交轨迹于
、
两点，交直线于点
，
已知
，
，求证：
为定值．
【答案】
以线段
所在的直线为
轴建立直角坐标系
．
（1）方法一：如图，以线段的中点为原点
，
|
所在的直线为轴建立直角坐标系．
则，
． ……………………………2分
设动点
的坐标为
，则动点
的坐标为
，
， …………2分
由
，得
，…2分
方法二：由
得，
．…………………………2分
所以，动点的轨迹
是抛物线，以线段的中点
为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为：
．…………………………………………………………4分
（2）方法一：如图，设直线
的方程为
，
，
，……1分
则
.
……………………………………………………………………………1分
联立方程组
消去得，
，
，故 …………………………………………1分
……………………………………………………………………………1分
由
，
得，
，
，……………………………………………………2分
整理得，
，
，
.…………………4分
方法二：由已知，，得
. …………………2分
于是，
， ① …………………………………………………3分
如图，过
、
两点分别作准线
的垂线，垂足分别为
、
，
则有
② …………………………………………………3分
由①，②得
.…………………………………………………………………2分
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中，
三个顶点的直角坐标分别为
，
，
．
，求
的值；
的取值范围．
中，
三个顶点的直角坐标分别为
，
，
．
，求
的值；
为钝角，求
的取值范围．
}和{
}满足：对于任何
，有
，
为非零常数），且
．
是
与
的等差中项，试求
的值，并研究：对任意的
}和{
}满足：对于任何
，有
，
为非零常数），且
．
是
与
的等差中项，试求
的值，并研究：对任意的
中，
，
，
，
．将
所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
；
（2）设直角梯形
（
）至
，问：是否存在
．若存在，求角