题目内容

已知函数f（x）=x3+log2
1+x1-x
，且f（1-a）+f（1-a2）＜0，则a的取值范围是
 
．
分析：本题中给出了函数的解析式，以及一个不等式，求a的范围，需要利用单调性转化，观察发现这个函数是一个奇函数，且是一个单调增函数，故解答本题要先判断其奇偶性，再判断其单调性，然后利用单调性转化出关于a的不等式即可解出a的取值范围．
解答：解：由题意
1+x
1-x
＞0解得其定义域为（-1，1）
∵f（-x）=1x3-log2
1+x
1-x
=-f（x），
∴函数f（x）=x3+log2
1+x
1-x
是一个奇函数
  又有单调性的定义可以判断出，此函数是一个增函数
故f（1-a）+f（1-a2）＜0可变为f（1-a2）＜f（a-1）
由此不等式可以转化为
a-1∈(-1，1)
a 2-1∈(-1，1)
1-a 2＜a-1

解得a∈(1，
2
)
故答案为(1，
2
)
点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用单调性解不等式，本题要通过函数的单调性把超越不等式转化为一元二次不等式组来求解，转化时不要忘记定义域的取值范围，即转化一定要注意验证是否等价．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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