Question

点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|=4，|BC|=6，|AB|=2．设与

BC

同向的单位向量为

a0

，与

BA

同向的单位向量为

b0

．
（1）用

a0

和

b0

表示

AC

， 

CD

和

OA

；
（2）若点P在梯形ABCD所在平面上运动，且|

CP

| =2，求|

BP

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据点O是梯形ABCD对角线的交点，以及向量加减法的三角形法则和共线向量定理，即可求得结果；
（2）由题意知点P是在以点C为圆心，3为半径的圆周上运动，根据|

BP

|的几何意义即可求得其最大值和最小值．

解答：解：（1）由题意知

BC

=6

a0

，

BA

=2

b0

，∴

AC

=

BC

-

BA

=6

a0

-2

b0

；
∵

AD

∥

BC

，∴

AD

 =4

a0

，则

CD

=

CA

+

AD

=2

b0

-6

a0

+4

a0

=2

b0

-2

a0

；
∵AD∥BC，∴|OA|：|OC|=|AD|：|BC|=2：3，
则

OA

=-

2

5

AC

=-

2

5

（6

a0

-2

b0

）=-

12

5

a0

+

4

5

b0

．
（2）由题意知点P是在以点C为圆心，3为半径的圆周上运动，
所以由几何意义即得|

BP

|的最大值和最小值分别应该为8和4．

点评：此题属于中档题．考查向量加法的三角形法则和平面向量基本定理，注意用已知向量表示未知向量时，把要求的向量放到封闭图形中解决，以及点圆位置关系，体现了转化的思想，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．