Question

若xn=

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

（n为正整数），
求证：不等式  

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

对一切正整数n恒成立．

Answer 1

分析：先对式子：xn=

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

的通项进行放缩：n＜

n(n+1)

＜ n+

1

2

，再左右两边分别求和，即可证得结论．

解答：证明：∵n＜

n(n+1)

＜ n+

1

2

∴1+2+3+…+n＜

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

＜(1+

1

2

)+(2+

1

2

)+…+(n+

1

2

)
即：

n(n+1)

2

＜x n＜

n2+2n

2

∴

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

．
∴不等式  

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

对一切正整数n恒成立．．

点评：本题考查不等式的证明（关键是去掉根式），以及数列求和、及放缩法．