Question

已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且＝＝，P为CE与OF的交点(如图)，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值． 　　按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)． 　　设＝＝＝k(0≤k≤1)． 　　由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)． 　　直线OF的方程为2ax＋(2k－1)y＝0，　　① 　　直线GE的方程为－a(2k－1)x＋y－2a＝0．　　② 　　从①，②消去参数k，得点P(x，y)坐标满足方程2a2x2＋y2－2ay＝0． 　　整理得＋＝1． 　　当a2＝时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点． 　　当a2≠时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长． 　　当a2＜时，点P到椭圆两个焦点(－，a)，(，a)的距离之和为定值． 　　当a2＞时，点P到椭圆两个焦点(0，a－)，(0，a＋)的距离之和为定值2a．