Question

直线bx-ay+c=0（a＞0）是曲线y=ln

1

x

在x=3处的切线，f（x）=a•2^x+b•3^x，若f（x+1）＞f（x），则x的取值范围是（　　）

• A．（-∞，1）
• B．（1，+∞）
• C．(-∞，

  2

  3

  )
• D．(

  2

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：先利用导数求出在x=3处切线的斜率，从而得到a与b的等量关系，然后解指数不等式即可求出x的取值范围．

解答：解：y=ln

1

x

=-lnx，y′=-

1

x

则在x=3处的切线的斜率为y′|_x=3=-

1

3

=

b

a

即b=-

1

3

a
∴f（x）=a•2^x-

1

3

a•3^x，
∵f（x+1）＞f（x），
∴a•2^x+1-

1

3

a•3^x+1＞a•2^x-

1

3

a•3^x，
即2^x-

2

3

•3^x＞0即2^x-1＞3^x-1；
即(

3

2

)x-1＜1=(

3

2

)0
∴x-1＜0即x＜1
故选A．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及指数运算，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．