Question

设a＞1，函数y=log_ax在闭区间[3，6]上的最大值M与最小值m的差等于1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）比较3^M与6^m的大小．

Answer 1

分析：（1）根据y=log_ax在（0，+∞）上是增函数，可得M=y_max=log_a6，m=y_min=log_a3．再由M-m=1可知，log_a6-log_a3=1，求得a的值．
（2）由a=2可知，M=log₂6=1+log₂3，m=log₂3，再利用对数的运算性质可得3^M与6^m的大小关系．

解答：解：（1）∵a＞1，y=log_ax在（0，+∞）上是增函数，
∴y=log_ax在闭区间[3，6]上是增函数．
∴M=y_max=log_a6，m=y_min=log_a3．
由M-m=1可知，log_a6-log_a3=1，
∴loga

6

3

=loga2=1⇒a=2．
（2）由a=2可知，y=log₂x，∴M=log₂6=1+log₂3，m=log₂3，
∴3M=3log26=31+log23=3×3log23，
6m=6log23=(2×3)log23=2log23×3log23=3×3log23，
∴3^M=6^m．

点评：本题主要考查指数函数的单调性应用，对数的运算性质，属于中档题．