Question

设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）已知常数＞0，若y=f(x)在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）设集合A=，B={x||f(x)-m|＜2},若AB，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)=2sinx+1（2）∈（3）m∈（1，4）

（1）f(x)=sin²·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)
=4sinx·+cos2x
=2sinx(1+sinx)+1-2sin²x=2sinx+1,
∴f(x)=2sinx+1.
（2）∵f(x)=2sinx+1,＞0.
由2k-≤x≤2k+,
得f(x)的增区间是,k∈Z.
∵f（x）在上是增函数，
∴.
∴-≥且≤,∴∈.
（3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m＜2,即f(x)-2＜m＜f(x)+2.
∵AB，∴当≤x≤时，不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立.
∴f（x）_max-2＜m＜f(x)_min+2,
∵f(x)_max=f()=3,f(x)_min=f()=2,∴m∈（1，4）.