Question

5．记max{a₁，a₂，…a_n}为a₁，a₂，…，a_n中最大的数．已知f（x）=max{x，x²}{-1≤x≤3}
（1）求函数y=f（x）的值域；
（2）设P，A，B三点的坐标分别为（x，f（x）），（0，-1），（2，0），且P，A，B三点可以构成三角形，求三角形PAB的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数y=f（x）的解析式写成分段函数的形式，分段求出函数值的取值范围，综合讨论结果，可得函数y=f（x）的值域；
（2）求出线段AB的长及直线AB的方程，分析出函数图象上的点到直线AB的距离范围，进而可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=max{x，x²}=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，-1≤x≤0，或1≤x≤3\\ x，0＜x＜1\end{array}\right.$，
当-1≤x≤0时，f（x）=x²∈[0，1]，
当0＜x＜1时，f（x）=x∈（0，1），
当1≤x≤3，f（x）=x²∈[1，9]，
综上所述，函数y=f（x）的值域为[0，9]；
（2）∵A，B点的坐标分别为（0，-1），（2，0），
故直线AB所在直线的方程为：$\frac{x}{2}-y=1$，即x-2y-2=0，
且AB=$\sqrt{5}$，
由（1）得：函数y=f（x）图象上的点，（0，0）点距离直线AB最近，
此时三角形PAB的高为$\frac{2}{\sqrt{5}}$，三角形PAB的面积取最小值1，
函数y=f（x）图象上的点，（3，9）点距离直线AB最远，
此时三角形PAB的高为$\frac{17}{\sqrt{5}}$，三角形PAB的面积取最大值$\frac{17}{2}$，
故三角形PAB的面积的取值范围为[1，$\frac{17}{2}$]

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，三角形面积公式，难度中档．