Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，设函数g（x）=f（x）-2kx．
（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在x∈[-1，1]上是单调函数，求实数k的取值范围．
（3）求g（x）在x∈[-2，2]上的最小值h（k）．

Answer 1

分析：（1）由已知f（1）=0可得a+b+1=0，由f（x）的值域为[0，+∞）可得△=b²-4a=0，联立方程可求a，b，进而可求f（x）
（2）由g（x）=f（x）-2kx=ax²+（b-2k）x+1，分类讨论：1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1，结合一次函数的性质可求；2°当a≠0时，g（x）的对称轴：x=

2k-b

2a

，由g（x）在x∈[-1，1]上单调可得

2k-b

2a

≤-1或

2k-b

2a

≥1可求
（3）：1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1，结合一次函数的单调性可求；2°当a＞0时，g（x）的对称轴：x=

2k-b

2a

且开口向上，通过讨论对称轴与区间的位置关系，结合二次函数在该区间上的单调性可求

解答：解：（1）显然a≠0
∵f（1）=0
∴a+b+1=0-----------（1分）
∵x∈R，且f（x）的值域为[0，+∞）
∴△=b²-4a=0---------（3分）
由

a+b+1=0 b2-4a=0

可得

a=1 b=-2

∴f（x）=x²-2x+1（5分）
（2）g（x）=f（x）-2kx=ax²+（b-2k）x+1
1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1，
∵g（x）在x∈[-1，1]上单调，
∴b≠2k
2°当a≠0时，g（x）图象满足：对称轴：x=

2k-b

2a

∵g（x）在x∈[-1，1]上单调
∴

2k-b

2a

≤-1或

2k-b

2a

≥1
①当a＞0时，k≤-a+

b

2

或k≥a+

b

2

②当a＜0时，k≤a+

b

2

或k≥-a+

b

2

（10分）
（3）：1°当a=0时，g（x）=（b-2k）x+1
①当b-2k=0，即k=

b

2

时，h（k）=1
②当b-2k＞0，即k＜

b

2

时，h（k）=g（-2）=4k-2b+1
③当b-2k＜0，即k＞

b

2

时，h（k）=g（2）=-4k+2b+1
2°当a＞0时，g（x）图象满足：对称轴：x=

2k-b

2a

且开口向上
①当

2k-b

2a

＜-2，即k≤-2a+

b

2

时，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1
②当-2≤

2k-b

2a

≤2，即-2a+

b

2

≤k≤2a+

b

2

时，h(k)=g(

2k-b

2a

)=-

(2k-b)2

4a

+1
③当

2k-b

2a

＞2，即k≤2a+

b

2

时，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
3°当a＜0时，g（x）图象满足：对称轴：x=

2k-b

2a

且开口向下
①当

2k-b

2a

＜0，即k＞

b

2

时，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
②当

2k-b

2a

＞0，即k＜

b

2

时，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1（16分）

点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质并注意分类讨论思想的应用