Question

（12分）已知椭圆，直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．直线AB与直线OM的斜率分别为k、m，且．

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若直线AB经过椭圆的右焦点F，问：对于任意给定的不等于零的实数k，是否存在a∈，使得四边形OACB是平行四边形，请证明你的结论；

Answer 1

(1)
(2) 当且时，存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形；
当或时，不存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形

解：（Ⅰ）解法一：设，,，
则，两式相减，得：，
又，，∴，
又∵，∴，∴…4分
解法二：设直线AB的方程为y=kx+n，代入椭圆方程得
 ，设，,，
则，∴，，
∴，又∴，∴       ……4分
（Ⅱ）设C(xC，yC)，直线AB的方程为y=k(x-c)(k≠0)，代入椭圆方程，
得，若OACB是平行四边形，则，
∴，，
∵C在椭圆上 ∴∴，
∴，∴∴，
∵，a∈[2，+∞] ，∴，∴且，
∴当且时，存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形；
当或时，不存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形。……12分