Question

已知，点在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，存在正整数t，使得恒成立，求最小正整数t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据，点在曲线y=f（x）上，可得，即-=4，故可得是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 对通项裂项，再进行求和，从而对于任意的n∈N^*使得恒成立，所以只要，由此可得结论．
解答：（Ⅰ）证明：∵，点在曲线y=f（x）上
∴
∴-=4
所以是以1为首项，4为公差的等差数列． 
∴=4n-3
∵a_n＞0，∴a_n=
（Ⅱ）解：．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-+-+…+）=＜
对于任意的n∈N^*使得恒成立，所以只要
∴或，所以存在最小的正整数t=2符合题意
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项公式，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，选择正确的方法是关键．