题目内容

设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的两点，已知
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），若
m
•
n
=0，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值．
分析：（1）利用椭圆的离心率的公式及椭圆中三个参数的关系：a2=b2+c2，列出方程求出参数a，b，c的值，代入椭圆方程即可．
（2）设出直线AB的方程，将直线方程与椭圆的方程联立，得到关于x的二次方程，利用韦达定理得到交点的横坐标间的关系；利用已知向量垂直其数量积为0得到两个交点间的另外的等量关系，联立求出k的值．
解答：解：（1）2b=2，b=1，e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
?a=2，c=
3

椭圆的方程为
y2
4
+x2=1
（2）由题意，设AB的方程为y=kx+
3

y=kx+
3
y2
4
+x2=1
?(k2+4)x2+2
3
kx-1=0
x1+x2=
-2
3
k
k2+4
，x1x2=
-1
k2+4

由已知
m
•
n
=0得：
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=x1x2+
1
4
(kx1+
3
)(kx2+
3
)
=(1+
k2
4
)x1x2+
3
k
4
(x1+x2)+
3
4

=
k2+4
4
(-
1
k2+4
)+
3
k
4
•
(-2
3
k)
k2+4
+
3
4
=0，
解得k=±
2
点评：求圆锥曲线的方程时，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用的方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立得到关于某个未知数的二次方程，利用韦达定理来找突破口．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C两点之间距离的最小值．

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