Question

【题目】【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对求导，对进行讨论，研究的正负，可判断函数的单调性；（Ⅱ）要证明不等式在上恒成立，基本方法是设，当时，，的解不易确定，因此结合（Ⅰ）的结论，缩小的范围，设=，并设=，通过研究的单调性得时，，从而，这样得出不合题意，又时，的极小值点，且，也不合题意，从而，此时考虑得，得此时单调递增，从而有，得出结论．

试题解析：（I）

<0，在内单调递减.

由=0，有.

此时，当时，<0，单调递减；

当时，>0，单调递增.

（II）令=，=.

则=.

而当时，>0，

所以在区间内单调递增.

又由=0，有>0，

从而当时，>0.

当，时，=.

故当>在区间内恒成立时，必有.

当时，>1.

由（I）有,从而，

所以此时>在区间内不恒成立.

当时，令，

当时，，

因此，在区间单调递增.

又因为，所以当时， ，即 恒成立.

综上，．