题目内容

设函数f(x)=
x
x2+3x+2
，点A0表示坐标原点，点An的坐标为An（n，f（n））（n∈N*），kn表示直线A0An的斜率，设Sn=k1+k2+…+kn，，则Sn=
n
2n+4
n
2n+4
．
分析：根据kn表示直线A0An的斜率，从而可表示kn，进而利用裂项法求和．
解答：解：由题意，∵A是原点
所以kn=
f(n)
n
=
1
n+1
-
1
n+2

所以Sn=
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n+1
-
1
n+2
=
1
2
-
1
n+2
=
n
2n+4

故答案为
n
2n+4
点评：本题以函数为载体，考查数列知识，考查裂项法求数列的和，关键是正确理解kn表示直线A0An的斜率．
练习册系列答案
相关题目
（Ⅰ）已知函数f(x)=
x
x+1
．数列{an}满足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，记数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求数列{bn}的通项公式；并判断b4+b6是否仍为数列{bn}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
（Ⅱ）设{cn}为首项是c1，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c1=md”．
设函数f(x)=
2-xx∈(-∞，1)
x2x∈[1，+∞)
若f（x）＞4，则x的取值范围是
 
．
设函数f(x)=
x
x+1
(x＞0)，观察：f1(x)=f(x)=
x
x+1
，f2(x)=f(f1(x))=
x
2x+1
，f3(x)=f(f2(x))=
x
3x+1
，f4(x)=f(f3(x))=
x
4x+1
，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N+且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=
x
nx+1
x
nx+1
．
设函数f(x)=
x
x+2
(x＞0)，观察：f1(x)=f(x)=
x
x+2
，f2(x)=f(f1(x))=
x
3x+4
，f3(x)=f(f2(x))=
x
7x+8
，f4(x)=f(f3(x))=
x
15x+16
…根据以上事实，由归纳推理可得当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=（　　）
设函数f(x)=
x
x+2
(x＞0)，观察：f1(x)=f(x)=
x
x+2
，f2(x)=f[f1(x)]=
x
3x+4
，f3(x)=f[f2(x)]=
x
7x+8
f4(x)=f[f3(x)]=
x
15x+16

------根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N+且n＞1时，fn（x）=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n
．

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