题目内容

设函数f(x)=
x
x+2
(x＞0)，观察：f1(x)=f(x)=
x
x+2
，f2(x)=f[f1(x)]=
x
3x+4
，f3(x)=f[f2(x)]=
x
7x+8
f4(x)=f[f3(x)]=
x
15x+16

------根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N+且n＞1时，fn（x）=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n
．
分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．
解答：解：f(x)=
x
x+2
(x＞0)，
观察：f1(x)=f(x)=
x
x+2
，
f2(x)=f[f1(x)]=
x
3x+4
，
f3(x)=f[f2(x)]=
x
7x+8
，
f4(x)=f[f3(x)]=
x
15x+16

…
所给的函数式的分子不变都是x，
而分母是由两部分的和组成，
第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n-1，
第二部分的数分别是2，4，8，16…2n
∴fn（x）=f（fn-1（x））=
x
(2n-1)x+2n

故答案为：
x
(2n-1)x+2n
点评：本题主要考查了归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（Ⅰ）已知函数f(x)=
x
x+1
．数列{an}满足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，记数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求数列{bn}的通项公式；并判断b4+b6是否仍为数列{bn}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
（Ⅱ）设{cn}为首项是c1，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c1=md”．
设函数f(x)=
2-xx∈(-∞，1)
x2x∈[1，+∞)
若f（x）＞4，则x的取值范围是
 
．
设函数f(x)=
x
x+1
(x＞0)，观察：f1(x)=f(x)=
x
x+1
，f2(x)=f(f1(x))=
x
2x+1
，f3(x)=f(f2(x))=
x
3x+1
，f4(x)=f(f3(x))=
x
4x+1
，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N+且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=
x
nx+1
x
nx+1
．
设函数f(x)=
x
x+2
(x＞0)，观察：f1(x)=f(x)=
x
x+2
，f2(x)=f(f1(x))=
x
3x+4
，f3(x)=f(f2(x))=
x
7x+8
，f4(x)=f(f3(x))=
x
15x+16
…根据以上事实，由归纳推理可得当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=（　　）

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