Question

已知x、y∈[

1

2

，+∞)，且2x+3y=4xy+1，则2x+y的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由2x+3y=4xy+1得y=

2x-1

4x-3

，然后利用基本不等式进行求解即可．

解答：解：∵2x+3y=4xy+1，
∴y=

2x-1

4x-3

，
∵y=

2x-1

4x-3

≥

1

2

，
∴

2x-1

4x-3

-

1

2

≥0，即

1

2(4x-3)

≥0，
解得4x-3＞0，即x＞

3

4

．
则2x+y=2x+

2x-1

4x-3

=2x+

1 2 (4x-3)+ 1 2

4x-3

=2x+

1

2

+

1 2

4x-3

=

1

2

(4x-3)+

3

2

+

1

2

+

1 2

4x-3

≥2+2

1 2 (4x-3)• 1 2 4x-3

=2+2×

1

2

=2+1=3，
当且仅当

1

2

(4x-3)=

1 2

4x-3

，
即4x-3=1，x=1，y=1时取等号．
∴2x+y的最小值为3．
故答案为：3．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，根据条件构造基本不等式成立的三个条件是解决本题的关键，考查学生分析问题，解决问题的能力．