Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，其中a∈N^*，an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

令集合A={x|x=an，n∈N*}．
（I）若a₄是数列{a_n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（II）求证：{1，2，3}⊆A；
（III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．

Answer 1

分析：（I）由a₄=1，an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

，求出a₃；再求a₂，a₁；
（II）讨论a_k被3除余1，余2，余0的情况，确定a_k与a_k+3的大小，从而推导1、2、3是数列{a_n}中的项；
（III）由已知递推关系得{a_n}满足：当a_m∈{1，2，3}时，总有a_n=a_n+3成立，当a₁≤2014时，数列{a_n}中大于3的各项，
按逆序排列各项，构成的数列记为{b_n}，由（I）得b₁的取值，由（II）知数列{b_n}的项满足：b_n+3＞b_n，且当b_n是3的倍数时，满足b_n+3-b_n最小的数列{b_n}，得出{b_3k-1}的通项公式，由3⁶＜2014＜3⁷，得出当a≤2014时，k的最大值，从而得出A中元素个数的最大值．

解答：解：（I）∵a₄是数列{a_n}中首次为1的项，又an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

，∴a₃=3a₄=3；
∴a₂=3a₃或a₃-1，即a₂=9或2；同理a₁=3a₂或a₂-1，当a₂=9时，即a₁=27或8，当a₂=2时，a₁=6或1（不合题意，舍去）；
所以，满足条件的数列的前三项为：
27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．
（II）若a_k被3除余1，则由已知可得a_k+1=a_k+1，a_k+2=a_k+2，a_k+3=

1

3

（a_k+2）；
若a_k被3除余2，则由已知可得a_k+1=a_k+1，a_k+2=

1

3

（a_k+1），a_k+3≤

1

3

（a_k+1）+1；
若a_k被3除余0，则由已知可得a_k+1=

1

3

a_k，a_k+3≤

1

3

a_k+2；
所以a_k+3≤

1

3

a_k+2；
所以a_k-a_k+3≥a_k-（

1

3

a_k+2）=

2

3

（a_k-3）；
所以，对于数列{a_n}中的任意一项a_k，“若a_k＞3，则a_k＞a_k+3”．
因为a_k∈N^*，所以a_k-a_k+3≥1．
所以数列{a_n}中必存在某一项a_m≤3（否则会与上述结论矛盾！）
若a_m=3，则a_m+1=1，a_m+2=2；若a_m=2，则a_m+1=3，a_m+2=1，若a_m=1，则a_m+1=2，a_m+2=3，
由递推关系得{1，2，3}⊆A．
（III）集合A中元素个数Card（A）的最大值为21．
由已知递推关系可推得数列{a_n}满足：
当a_m∈{1，2，3}时，总有a_n=a_n+3成立，其中n=m，m+1，m+2，…．
下面考虑当a₁=a≤2014时，数列{a_n}中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为{b_n}，由（I）可得b₁=6或9，
由（II）的证明过程可知数列{b_n}的项满足：b_n+3＞b_n，且当b_n是3的倍数时，若使b_n+3-b_n最小，需使b_n+2=b_n+1-1=b_n-2，
所以，满足b_n+3-b_n最小的数列{b_n}中，b₃=4或7，且b_3k=3b_3k+3-2，
所以b_3k-1=3（b_3（k+1）-1），所以数列{b_3k-1}是首项为4-1或7-1的公比为3的等比数列，
所以b_3k-1=（4-1）×3^k-1或b_3k-1=（7-1）×3^k-1，即b_3k=3^k+1或b_3k=2×3^k+1，
因为3⁶＜2014＜3⁷，所以，当a≤2014时，k的最大值是6，
所以a₁=b₁₈，所以集合A中元素个数Card（A）的最大值为21．

点评：本题考查了递推数列与不等式、集合等知识的综合应用，也考查了较强的逻辑思维能力，是难题．