Question

14．已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P（2，2），过F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为：y²=2px，代入点P（2，2），即可求抛物线的方程；
（2）从A和B分别作准线的垂线AM，BN，垂足M、N，取AB中点Q，作QH⊥准线 l，H为垂足，结合中位线的定义与抛物线的定义可得答案．

解答 （1）解：设抛物线方程为：y²=2px，
代入点P（2，2），可得2²=4p，∴p=1，∴y²=2x．
（2）证明：从A和B分别作准线的垂线AM，BN，垂足M、N，
取AB中点Q，作QH⊥准线 l，H为垂足，根据抛物线定义，|AM|=|AF|，|BN|=|BF|，|AM|+|BN|=|AB|，
QH是梯形AMNB的中位线，|QH|=$\frac{1}{2}$（|AM|+|BN|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
若以|AB|为直径作圆，则|HQ|是其半径，无论AB位置如何变换，|QH|始终为$\frac{1}{2}$|AB|，且QH⊥准线l，
∴以AB为直径的圆与准线l相切．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的判定．