Question

设F₁、F₂为椭圆16x²+25y²=400的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF₁F₂的周长是

16

，△PF₁F₂的面积的最大值是

12

．

Answer 1

分析：先将椭圆16x²+25y²=400化成标准方程得出a，b，c，由题意可知△PF₁F₂周长=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c，进而计算可得△PF₁F₂的周长；欲求出△PF₁F₂的面积的最大值，由于F₁F₂一定，只须高最大即可，结合图形知当P点在椭圆的顶点处时，△PF₁F₂的面积的最大．

解答：解：由题意知：
椭圆：

x2

25

+

y2

16

=1
a=5，b=4，c=3
△PF₁F₂周长=2a+2c=10+6=16．
由于F₁F₂一定，只须高最大即可，结合图形知，
△PF₁F₂的面积的最大值=

1

2

×F₁F₂×b=bc=12
故答案为：16；12．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．本题比较简单，作出图形效果更好．